Verified answer

________________________________________

Câu 1:

Cách này hơi dài nhưng tự nhiên, hy vọng có bạn nào trình bày 1 cách hay hơn:

Chắc bài toán cho a,b,c,d >0, chứ không phải là tích a.b.c.d > 0. Vì nếu chỉ cho điều kiện abcd >0 thì ví dụ với a=-10, b=-11/29, c=d=1/3:

1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) + 1/(d+1) = 1/(-10+1) + 1/(-11/29+1) + 1/(1/3+1) + 1/(1/3+1) = -1/9 + 29/18 + 3/2 = 3.

Mà a.b.c.d = -10.-11/29.1/3.1/3 > 1/81.

(làm mình nhớ đến bài này cũng viết nhầm đề:

http://vn.answers.yahoo.com/question/index;_ylt=Ak...

Lần sau bạn nhớ kiểm tra lại cho chính xác nhé.

Như vậy mình sẽ làm bài toán với a,b,c,d>0.

bđt đã cho tđ

1/(1+a) + 1/(1+b) -1 >= 1-1/(1+c) + 1-1/(1+d)

<=> (1-ab)/(1+a+b+ab) >= (c+d+2cd) / (1+c+d+cd)

<=> .... (quy dồng mẫu số rồi rút gọn)

<=> 1 >= (ab + ac + ad + bc + bd + cd) + 2.abcd(1/a + 1/b +1/c +1/d) + 3abcd.

Áp dụng bđt Cosi cho 6 số thì được:

ab + ac + ad + bc + bd + cd >= 6.căn(abcd).

Ad bđt Cosi cho 4 số:

abcd(1/a + 1/b +1/c +1/d) >= 4.(abcd)^(3/4).

Như vậy

1 >= 6.(abcd)^(1/2) + 8.(abcd)^(3/4) + 3abcd.

Do đó nếu abcd > 1/81 thì:

6.(abcd)^(1/2) + 8.(abcd)^(3/4) + 3abcd = 6.(1/81)^(1/2) + 8.(1/81)^(3/4) + 3.1/81 = 1. (không t/m).

suy ra đpcm.

____________________________________

Câu 2:

1 + 1/căn2 + 1/căn3 + ... + 1/căn(n) =< 2căn(n) – 1.

Cm bổ đề: 1/[căn(k+1)] < 2.[căn(k+1) - căn(k)], với k là số thực > 0 bất kì..

Sau đó áp dụng bổ đề cho k=1,2,...,n-1.

___________________________________

Câu 3:

Đặt véc tơ x=(a+c,b); y=(a-c,b).

Như vậy VT = |x| + |y|

VP = |x+y|.

Sau đó ap dụng bđt Vectơ: |x| + |y| >= |x+y|.

___________________________________

Câu 4:

Làm tương tự như câu 3, nhưng lần này hơi khác.

Nếu bc <0 thì

căn(b^2+c^2+bc) < căn(b^2 + c^2 ) =< căn(a^2+b^2+c^2) =< VT.

Nếu bc >= 0. Xét véctơ x=(-a,b,c); y=(-a-c/2 , căn(3).c/2 , 0). Khi đó

VT = |x| + |y| >= |x+y|

Mà vectơ x+y = (-c/2,(b+căn(3).c/2),c)

|x+y|^2 = c^2/4 + (b+căn(3).c/2) ^2 + c^2 = b^2 + căn(3).bc + 2.c^2 >= b^2 + bc + c^2. (do bc>=0).

__________________________________

Câu 5:

Nếu giá trị min và max là m và M thì:

m =< (x+1)/(x^2 + x + 1) =< M

<=> m(x^2 + x + 1) =< x+1 =< M(x^2 + x + 1)

Như vậy cần tìm m, M sao cho 2 đẳng thức sau luôn đúng:

m(x^2 + x + 1) - (x+1) = mx^2 + (m-1)x + (m-1) =< 0 với mọi x.

M(x^2 + x + 1) - (x+1) = Mx^2 + (M-1)x + (M-1) >= 0 với mọi x.

Hàm số bậc 2 mà giữ nguyên dấu trên toàn bộ miền R, khi và chỉ khi Delta=0, như vậy m và M là nghiệm của pt:

(m-1)^2 - 4.m.(m-1) = 0

(M-1)^2 - 4.M(M-1) = 0

Do đó m, M là nghiệm của pt:

(t-1)^2 - 4.(t-1).t = 0, giải pt này được t=1 hoặc t=-1/3.

Suy r m=-1/3, M=1.

--------------------------

Trên đây là hướng suy nghĩ để giải quyết bài toán này.

Còn khi làm bài bạn chỉ cần cm:

-1/3 =< (x+1)/(x^2 + x + 1) =< 1

Là được.

______________________________

Câu 6: áp dụng bđt Cosi.

Cụ thể,

a) x+2 >= 2.căn(2x).

Suy ra y >= [2.căn(2x)]^2/x = 8. Dấu bằng xảy ra <=> x=2.

b) x^2 + 2/x = x^2 + 1/x + 1/x >= 3.căn_bậc_3(x^2.1/x.1/x) = 3.

______________________________

Câu 7: áp dụng bđt Cosi:

(3-x)(4-y)(2x+3y) = 1/6 . (6-2x) . (12-3y) . (2x+3y) =< 1/6. {[(6-2x) + (12-3y) + (2x+3y)]/3}^3 = 1/6. (18/3)^3 = 1/6.6^3 = 36.

maxA=36, với:

6-2x = 12-3y = 2x+3y <=> x=0, y=2.

GỢI Ý THÔI À !!!