El triángulo de Tartaglia nos da los coeficientes para cualquier BINOMIO (x + y) elevado a CUALQUIER POTENCIA. En este caso, sólo nos hacen falta 3 filas; si la pregunta hubiese sido, por ejemplo, ⪠desarrolla (x + y)⁵ â«, harÃan falta 5 renglones. Las filas se construyen colocando un 1 en cada punta y sumando los coeficientes del renglón anterior para lograr los del centro.
(x + y)² por ejemplo necesita un triángulo con dos renglones, siendo el primero el que comprende sólo dos números: un 1 a cada extremo:
..1...1
.1...2...1
En el segundo renglón tenemos un 1 en cada extremo, y un 2 el cual es la suma de los dos 1 del renglón precedente. Observa que se trata de los coeficientes del cuadrado de un binomio:
(x + y)² = 1 x² + 2 xy + 1 y²
Del mismo modo, para (x + y)³ tenemos el siguiente triángulo:
...........1.1
..........1.2.1
.........1.3.3.1
Luego:
(x + y)³ =
= 1 x³ yº + 3 x² y¹ + 3 x¹ y² + xº y³ =
= 1 x³ + 3 x² y + 3 x y² + 1 y³ =
= x³ + 3 x² y + 3 x y² + y³
Observa como el exponente de la x va descendiendo desde 3 hasta 0, mientras que el de la y va subiendo desde 0 hasta 3.
......................................…
â 2 â
^^^^^^^^^^^
Un número combinatorio es un par de números naturales, por ejemplo,
. .5
(. . )
. .3
tal que ello es igual a:
5 !
---------
3! 2!
5! significa el producto siguiente: 5 • 4 • 3 • 2 • 1 ;
AsÃ, el número combinatorio (3, 1), que es el segundo del tercer renglón, es igual al segundo número del tercer renglón del triángulo de Tartaglia del ejercicio anterior.
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Se trata de dar en la solución el desarrollo terminado de (a³ – 2b) elevado a 12:
(a³ – 2b)¹² = ?
Tu ejercicio, en comparación con el ejemplo â 1 â , se complica un pelÃn. Y no por el hecho de que sea elevado a 12, sino por el signo menos. Pero no pasa nada.
Construimos el triángulo hasta la 12.ª lÃnea inclusive:
.............................1.1
...........................1.2.1
.........................1.3.3.1
......................1.4.6.4..1
..................1.5.10.10.5.1
..............1.6.15.20.15.6.1
............1.7.21.35.35.21.7.1
..........1.8.28.56.70.56.28.8.1
........1.9.36.84.126.126.84.36.9.1
....1.10.45.120.210.252.210.120.45.10.1
.1.11.55.165.330.462.462.330.165.55.11.1
1.12.66.220.495.792.924.792.495.220.66.12.1
En las últimas lÃneas, no me han cabido los últimos coeficientes, pero ya puedes deducir cuáles son los que faltan, pues ya te habrás dado cuenta de la simetrÃa. Y sino mira, he hallado una imagen en la red:
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Segun el triangulo de pascal tienes que
(x+y)^12 =
x^12 + 12(x^11)y + 66(x^10)(y^2) + 220(x^9)(y^3) + 495(x^8)(y^4) +
792(x^7)(y^5) + 924(x^6)(y^6) + 792(x^5)(y^7) + 495(x^4)(y^8) +
220(x^3)(y^9) + 66(x^2)(y^10) + 12x(y^11) + y^12
Sustituyes x=a^3 y y=-2b
(a^3+(-2b))^12 =
(a^3)^12 + 12((a^3)^11)(-2b) + 66((a^3)^10)((-2b)^2) + 220((a^3)^9)((-2b)^3) +
495((a^3)^8)((-2b)^4) + 792((a^3)^7)((-2b)^5) + 924((a^3)^6)((-2b)^6) +
792((a^3)^5)((-2b)^7) + 495((a^3)^4)((-2b)^8) + 220((a^3)^3)((-2b)^9) +
66((a^3)^2)((-2b)^10) + 12(a^3)((-2b)^11) + (-2b)^12=
a^36 + 12(a^33)(-2b) + 66(a^30)((-2b)^2) + 220(a^27)((-2b)^3) +
495(a^24)((-2b)^4) + 792(a^21)((-2b)^5) + 924(a^18)((-2b)^6) +
792(a^15)((-2b)^7) + 495(a^12)((-2b)^8) + 220(a^9)((-2b)^9) +
66(a^6)((-2b)^10) + 12(a^3)((-2b)^11) + (-2b)^12
Si me permites, primero expongo una introducción al tema, antes de pasar a tu problema.
EJEMPLOS DE EJERCICIOS DE APLICACIÃN DE
EL TRIÃNGULO DE TARTAGLIA (O DE PASCAL)
......................................…
â 1 â
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¿A qué es igual el desarrollo terminado de (x + y)³
El triángulo de Tartaglia nos da los coeficientes para cualquier BINOMIO (x + y) elevado a CUALQUIER POTENCIA. En este caso, sólo nos hacen falta 3 filas; si la pregunta hubiese sido, por ejemplo, ⪠desarrolla (x + y)⁵ â«, harÃan falta 5 renglones. Las filas se construyen colocando un 1 en cada punta y sumando los coeficientes del renglón anterior para lograr los del centro.
(x + y)² por ejemplo necesita un triángulo con dos renglones, siendo el primero el que comprende sólo dos números: un 1 a cada extremo:
..1...1
.1...2...1
En el segundo renglón tenemos un 1 en cada extremo, y un 2 el cual es la suma de los dos 1 del renglón precedente. Observa que se trata de los coeficientes del cuadrado de un binomio:
(x + y)² = 1 x² + 2 xy + 1 y²
Del mismo modo, para (x + y)³ tenemos el siguiente triángulo:
...........1.1
..........1.2.1
.........1.3.3.1
Luego:
(x + y)³ =
= 1 x³ yº + 3 x² y¹ + 3 x¹ y² + xº y³ =
= 1 x³ + 3 x² y + 3 x y² + 1 y³ =
= x³ + 3 x² y + 3 x y² + y³
Observa como el exponente de la x va descendiendo desde 3 hasta 0, mientras que el de la y va subiendo desde 0 hasta 3.
......................................…
â 2 â
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Un número combinatorio es un par de números naturales, por ejemplo,
. .5
(. . )
. .3
tal que ello es igual a:
5 !
---------
3! 2!
5! significa el producto siguiente: 5 • 4 • 3 • 2 • 1 ;
del mismo modo, 3! = 3 • 2 • 1 ;
y también, naturalmente, 2! = 2 • 1
De manera que
5 !. . . . .5 • 4 • 3 • 2 • 1
-------- = ---------------------- = 10
3! 2!. . .3 • 2 • 1 • 2 • 1
Es decir, en el numerador ponemos 5! (se lee "cinco factorial"), que es 5 por 4 por 3 etcétera o sea ir bajando de uno en uno hasta llegar a 1. En el denominador ponemos la multiplicación de: 3 factorial (ya que aparece el 3 en la mitad inferior del número combinatorio) con 2 factorial (ya que 5 – 3 = 2).
Pero en vez de escribirlo asÃ:
. .5
(. . )
. .3
lo escribiremos (5, 3), debido a la imposibilidad de escribirlo bien en Y!R.
Los números combinatorios también pueden ser calculados de otra manera: disponiendo el triángulo de Tartaglia de otro modo:
. . . . . . . . . . .(1,0)....(1,1)
. . . . . .(2, 0).....(2, 1).....(2, 2)
. . .(3, 0).....(3,1)......(3, 2)......(3, 3)
(4, 0).....(4, 1)....(4, 2).....(4, 3).....(4, 4)
AsÃ, el número combinatorio (3, 1), que es el segundo del tercer renglón, es igual al segundo número del tercer renglón del triángulo de Tartaglia del ejercicio anterior.
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Se trata de dar en la solución el desarrollo terminado de (a³ – 2b) elevado a 12:
(a³ – 2b)¹² = ?
Tu ejercicio, en comparación con el ejemplo â 1 â , se complica un pelÃn. Y no por el hecho de que sea elevado a 12, sino por el signo menos. Pero no pasa nada.
Construimos el triángulo hasta la 12.ª lÃnea inclusive:
.............................1.1
...........................1.2.1
.........................1.3.3.1
......................1.4.6.4..1
..................1.5.10.10.5.1
..............1.6.15.20.15.6.1
............1.7.21.35.35.21.7.1
..........1.8.28.56.70.56.28.8.1
........1.9.36.84.126.126.84.36.9.1
....1.10.45.120.210.252.210.120.45.10.1
.1.11.55.165.330.462.462.330.165.55.11.1
1.12.66.220.495.792.924.792.495.220.66.12.1
En las últimas lÃneas, no me han cabido los últimos coeficientes, pero ya puedes deducir cuáles son los que faltan, pues ya te habrás dado cuenta de la simetrÃa. Y sino mira, he hallado una imagen en la red:
http://i49.tinypic.com/i3zyhc.gif
Como el signo del segundo término, o monomio, de lo encerrado en el paréntesis es negativo, se aplica la alternancia de signos: + – + – etc.
Sigue en "Fuentes" que no me cabe.
. . .
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28a%5E3-2b%2...
utiliza el triangulo de pascal te aiudara a resolver cualkier binomio a cualkier elevacion